কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দূইটি বলের লব্ধি তাদের একটি সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে এবং অপরটির এক তৃতীয়াংশ । বলদ্বয়ের অনুপাত কোনটি?

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

ক

$3 : 2 \sqrt{2}$
খ

1:2
গ

3:7
ঘ

$3 \sqrt{2} : 5$

889

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, দুইটি বল $P$ ও $Q$ এবং তাদের লব্ধি $R$। বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং লব্ধি $R$ বল $P$ এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

লব্ধির দিকের সূত্রটি হলো:

\[\tan\theta = \frac{Q \sin\alpha}{P + Q \cos\alpha}\]

প্রশ্নানুসারে, লব্ধি $R$ একটি বলের (ধরি, $P$ বল) সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ, $\theta = 90^\circ$।

তাহলে, $\tan 90^\circ = \infty$

যেহেতু $\tan 90^\circ$ অসীম, তাই এর হর শূন্য হবে।

অর্থাৎ, $P + Q \cos\alpha = 0$

এখান থেকে পাই, $Q \cos\alpha = -P$ ........... (i)

লব্ধির মানের সূত্রটি হলো:

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha\]

সমীকরণ (i) থেকে $Q \cos\alpha = -P$ মানটি লব্ধির মানের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P)\] \[R^2 = P^2 + Q^2 - 2P^2\] \[R^2 = Q^2 - P^2\]

প্রশ্নানুসারে, লব্ধি $R$ অপর বলটির (অর্থাৎ, $Q$ বলটির) এক-তৃতীয়াংশ।

সুতরাং, $R = \frac{Q}{3}$

এই মানটি $R^2 = Q^2 - P^2$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\[\left(\frac{Q}{3}\right)^2 = Q^2 - P^2\] \[\frac{Q^2}{9} = Q^2 - P^2\]

$P^2$ কে বাম পাশে এবং $\frac{Q^2}{9}$ কে ডান পাশে নিয়ে গেলে পাই:

\[P^2 = Q^2 - \frac{Q^2}{9}\] \[P^2 = \frac{9Q^2 - Q^2}{9}\] \[P^2 = \frac{8Q^2}{9}\]

এখন, বলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় করতে হবে:

\[\frac{P^2}{Q^2} = \frac{8}{9}\]

উভয় পাশে বর্গমূল করে পাই:

\[\frac{P}{Q} = \sqrt{\frac{8}{9}}\] \[\frac{P}{Q} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\] \[\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

সুতরাং, বলদ্বয়ের অনুপাত $P:Q = 2\sqrt{2}:3$।

যদি আমরা ধরে নিতাম যে লব্ধি $R$ বল $Q$ এর সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে এবং $P$ বলের এক তৃতীয়াংশ, তাহলে $Q:P = 2\sqrt{2}:3$ আসতো, অর্থাৎ $P:Q = 3:2\sqrt{2}$।

প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে মিলিয়ে দেখতে হবে। অপশন 1 এ $3:2\sqrt{2}$ রয়েছে।

যদি ধরি, লব্ধি $R$ বল $Q$ এর সাথে $90^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে এবং $P$ এর এক তৃতীয়াংশ:

তাহলে, $Q + P \cos\alpha = 0 \Rightarrow P \cos\alpha = -Q$

এবং $R = \frac{P}{3}$

লব্ধির মানের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha\] \[\left(\frac{P}{3}\right)^2 = P^2 + Q^2 + 2Q(-Q)\] \[\frac{P^2}{9} = P^2 + Q^2 - 2Q^2\] \[\frac{P^2}{9} = P^2 - Q^2\] \[Q^2 = P^2 - \frac{P^2}{9}\] \[Q^2 = \frac{8P^2}{9}\] \[\frac{P^2}{Q^2} = \frac{9}{8}\] \[\frac{P}{Q} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}\]

অতএব, বলদ্বয়ের অনুপাত হলো $3:2\sqrt{2}$।

সঠিক উত্তরটি হলো $3:2\sqrt{2}$।

Satt AI

5 days ago

MCQ: 455

Practice

ভেক্টর

ভেক্টর (Vector) হল এক ধরনের গাণিতিক রাশি, যা একটি নির্দিষ্ট দিক এবং মান দিয়ে প্রকাশ করা হয়। উচ্চতর গণিতে, বিশেষ করে পদার্থবিজ্ঞান ও ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে, ভেক্টর গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এসএসসি উচ্চতর গণিতে ভেক্টর নিয়ে বিভিন্ন বিষয় শেখানো হয়, যেমন ভেক্টরের গঠন, এর গাণিতিক ক্রিয়া, এবং বাস্তব জীবনে এর ব্যবহার।

ভেক্টর ও স্কেলার

ভেক্টর রাশির পাশাপাশি স্কেলার (Scalar) রাশিও আছে, যা শুধু মান দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং এর কোনো দিক থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্কেলারের মধ্যে তাপমাত্রা বা ভর অন্তর্ভুক্ত হতে পারে, যেখানে দিক প্রয়োজন হয় না। তবে ভেক্টরের ক্ষেত্রে দিক গুরুত্বপূর্ণ, যেমন গতিবেগ বা বল।

ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য

১. মান (Magnitude): ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা পরিমাণ।
২. দিক (Direction): ভেক্টরের সঠিক দিকে নির্দেশ করে, যেমন উত্তর, দক্ষিণ, পূর্ব, বা পশ্চিম।

ভেক্টর গঠন

ভেক্টরকে সাধারণত একক ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যদি $\vec{A}$ একটি ভেক্টর হয়, তবে এটি $x$-অক্ষ বরাবর $i$, $y$-অক্ষ বরাবর $j$, এবং $z$-অক্ষ বরাবর $k$ উপাদানের মাধ্যমে লিখা যেতে পারে, যেমনঃ
\[
\vec{A} = x i + y j + z k
\]

ভেক্টরের প্রকারভেদ

১. শূন্য ভেক্টর: মান ০ হলেও এর কোনো নির্দিষ্ট দিক থাকে না।
২. একক ভেক্টর: মান ১-এর সমান এবং এর একক মান রয়েছে।
৩. সমান্তরাল ভেক্টর: একই দিকে বা বিপরীত দিকে অবস্থানরত ভেক্টর।

ভেক্টরের গাণিতিক ক্রিয়া

১. যোগফল: দুটি বা ততোধিক ভেক্টরকে একত্রিত করার প্রক্রিয়া।
২. বিয়োগ: এক ভেক্টর থেকে অন্য ভেক্টর বিয়োগ করা।
৩. স্কেলার গুণ: স্কেলারের সাথে ভেক্টর গুণ করা।
৪. ডট প্রোডাক্ট: দুটি ভেক্টরের মান নির্ণয় করা।
৫. ক্রস প্রোডাক্ট: দুটি ভেক্টরের একটি নতুন ভেক্টর সৃষ্টি করে।

বাস্তব জীবনে ভেক্টরের ব্যবহার

ভেক্টর গণিতের বিভিন্ন প্রয়োগ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর ব্যবহার করে গতি এবং বলের পরিমাপ করা যায়, যা পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল, এবং এমনকি কম্পিউটার গ্রাফিক্সেও প্রয়োজন।

এসএসসি উচ্চতর গণিতে ভেক্টর সম্পর্কে এই মৌলিক ধারণাগুলো জানতে হয়, যা উচ্চ স্তরের গণিত এবং বিজ্ঞানের ভিত্তি হিসেবে কাজ করে।